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<!DOCTYPE html>

<title>Proca-Gleichung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Proca-Gleichung</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Proca-Gleichung</b> ist eine grundlegende Gleichung der <a href="Relativistische_Quantenmechanik" class="mw-redirect" title="Relativistische Quantenmechanik">relativistischen Quantenmechanik</a>. Sie beschreibt die Eigenschaften und das Verhalten von <a href="Boson" title="Boson">Bosonen</a> mit <a href="Spin" title="Spin">Spin</a> 1 und Masse, wie dem <a href="W-Boson" title="W-Boson">W-Boson</a> und dem <a href="Z-Boson" title="Z-Boson">Z-Boson</a>. Sie wurde von dem rumänischen Physiker <a href="Alexandru_Proca" title="Alexandru Proca">Alexandru Proca</a> entdeckt und zuerst veröffentlicht. Sie gehört zum <a href="Standardmodell_der_Elementarteilchenphysik" class="mw-redirect" title="Standardmodell der Elementarteilchenphysik">Standardmodell der Elementarteilchenphysik</a>.

</p><p>Die <a href="Liste_der_Mesonen#Vektormesonen" title="Liste der Mesonen">Vektormesonen</a> mit Spin 1 sind mit dieser Gleichung nur näherungsweise zu beschreiben, da es sich nicht um <a href="Elementarteilchen" title="Elementarteilchen">Elementarteilchen</a>, sondern um instabile <a href="Quark_(Physik)" title="Quark (Physik)">Quarkzustände</a> handelt.

</p><p>Im Folgenden wird als <a href="Signatur_(Lineare_Algebra)" title="Signatur (Lineare Algebra)">Signatur</a> des <a href="Metrischer_Tensor" title="Metrischer Tensor">metrischen Tensors</a> (+−−−) verwendet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lagrange-Dichte">Lagrange-Dichte</h2></div>

<p>Das zu beschreibende Feld ist im Allgemeinen eine <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexe</a> <a href="Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Wellenfunktion</a>:

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {B} \right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec57440be6db6674e48f086a532a1a5043e0674b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:14.664ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle B^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {B} \right)}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<p>mit

</p>

<ul><li>einem verallgemeinerten <a href="Elektrisches_Potential" title="Elektrisches Potential">elektrischen Potential</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"></span></li>

<li>der <a href="Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"></span></li>

<li>einem verallgemeinerten <a href="Magnetisches_Potential" class="mw-redirect" title="Magnetisches Potential">magnetischen Potential</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {B} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {B} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cafb0ef39b0f5ffa23c170aa7f7b4e718327c4d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.901ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {B} }" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<p>Die vier Wellenfunktionen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B^{\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/055b75738f34e999d8c060b8a22f8923c68b69f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.987ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle B^{\mu }}" loading="lazy"></span> transformieren sich bei einer <a href="Lorentz-Transformation" title="Lorentz-Transformation">Lorentz-Transformation</a> der Koordinaten wie ein <a href="Vierervektor" title="Vierervektor">Vierervektor</a>.<sup id="cite_ref-GR_RQ_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-GR_RQ-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Soll ein Feld mit Ladung beschrieben werden, sind die vier Feldfunktionen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B^{\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/055b75738f34e999d8c060b8a22f8923c68b69f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.987ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle B^{\mu }}" loading="lazy"></span> im Allgemeinen vier komplexwertige Funktionen. Soll ein Feld ohne elektrische Ladung beschrieben werden, sind die vier Feldfunktionen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B^{\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/055b75738f34e999d8c060b8a22f8923c68b69f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.987ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle B^{\mu }}" loading="lazy"></span> vier reelle Funktionen.

</p><p>Wie bei der Theorie des <a href="Elektromagnetismus" class="mw-redirect" title="Elektromagnetismus">Elektromagnetismus</a> ist es auch bei der Proca-Gleichung sinnvoll, einen <a href="Feldst%C3%A4rketensor" title="Feldstärketensor">Feldstärketensor</a> einzuführen gemäß:

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G^{\mu \nu }:=\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d31c733eeb72d4afcc0419d1f6d43e748f0ba2f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:21.375ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G^{\mu \nu }:=\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu }}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Damit lautet die <a href="Lagrange-Dichte" title="Lagrange-Dichte">Lagrange-Dichte</a> des Feldes:<sup id="cite_ref-GR_RQ_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-GR_RQ-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Itzy_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Itzy-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<mtr>

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</mrow>

</mtd>

<mtd>

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</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

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</msup>

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<mtd>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</msup>

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</mrow>

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</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{2}}G_{\mu \nu }^{*}G^{\mu \nu }&&+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }\\&=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })&&+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.\end{alignedat}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89b6ee66d5dcd232783c03f50563a60f3a45828c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.338ex; width:55.293ex; height:11.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{2}}G_{\mu \nu }^{*}G^{\mu \nu }&&+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }\\&=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })&&+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.\end{alignedat}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit

</p>

<ul><li>der <a href="Reduzierte_Planck-Konstante" class="mw-redirect" title="Reduzierte Planck-Konstante">reduzierten Planck-Konstante</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }" loading="lazy"></span></li>

<li>dem Vierer<a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">gradient</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{\mu }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1be3e5cf12940b60f8569a9927ad28823277177a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.458ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial _{\mu }}" loading="lazy"></span></li>

<li>der <a href="Komplexe_Konjugation" title="Komplexe Konjugation">komplexen Konjugation</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}^{*}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/002b545cd6a6f230c91717f3321b3288a405f6a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.054ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {}^{*}}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<p>Die Lagrange-Dichte der Proca-Gleichung (auch Proca-Wirkung) kann mit Hilfe des <a href="Higgs-Mechanismus" title="Higgs-Mechanismus">Higgs-Mechanismus</a> und einer speziellen Wahl der <a href="Eichtheorie" title="Eichtheorie">Eichung</a> als Spezialfall der Stückelberg-Wirkung verstanden werden.<sup id="cite_ref-Itzy_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-Itzy-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Darstellungen">Darstellungen</h2></div>

<p>Mit Hilfe der <a href="Feldtheorie_(Physik)" title="Feldtheorie (Physik)">Euler-Lagrange-Gleichungen</a> lässt sich aus obiger Lagrange-Dichte die eigentliche Proca-Gleichung herleiten:

</p>

<mtr>

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<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mtr>

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<msup>

<mrow>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }&=0\\\Leftrightarrow \partial _{\mu }G^{\mu \nu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }&=0.\end{alignedat}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1901dc91235de993c411c0d846d509b24271f68c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.838ex; width:37.056ex; height:10.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }&=0\\\Leftrightarrow \partial _{\mu }G^{\mu \nu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }&=0.\end{alignedat}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e57f21007575fd03e3be0da20af34d25829cc9a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m=0}" loading="lazy"></span> reduziert sich diese Gleichung für das ungeladene Feld auf die <a href="Inhomogene_Gleichung" class="mw-redirect" title="Inhomogene Gleichung">inhomogenen</a> <a href="Maxwell-Gleichungen" title="Maxwell-Gleichungen">Maxwell-Gleichungen</a> ohne Ladungsstrom.

</p><p>Die Proca-Gleichung steht in enger Beziehung zur <a href="Klein-Gordon-Gleichung" title="Klein-Gordon-Gleichung">Klein-Gordon-Gleichung</a>. Sie ist ebenfalls eine Gleichung zweiter Ordnung in der Minkowski-<a href="Raumzeit" title="Raumzeit">Raumzeit</a>.

</p><p>In einer etwas anderen und weniger gebräuchlichen Form wurde die Proca-Gleichung 1939 von <a href="Nicholas_Kemmer" title="Nicholas Kemmer">Nicholas Kemmer</a> eingeführt, weshalb auch die Bezeichnungen <i>Kemmer-Gleichung</i> und <i>Proca-Kremmer-Gleichung</i> in der Literatur vorkommen. Sie ähneln formal der <a href="Dirac-Gleichung" title="Dirac-Gleichung">Dirac-Gleichung</a>, verwenden aber einen zehndimensionalen <a href="Spinor" title="Spinor">Spinor</a> und entsprechende 10×10-Matrizen.<sup id="cite_ref-GR_RQM_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-GR_RQM-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-GR_RQ_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-GR_RQ-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kopplung_an_das_elektromagnetische_Feld">Kopplung an das elektromagnetische Feld</h2></div>

<p>Bei den Feldgleichungen für das geladene W-Boson kann, so wie beim Elektron auch, die <a href="Minimale_Kopplung" title="Minimale Kopplung">minimale Kopplung</a> angewendet werden, um passende Feldgleichungen zu erhalten. Ebenso wie auch bei der Klein-Gordon-Gleichung erhält man die minimale Kopplung über die Verwendung der <a href="Kovariante_Ableitung" class="mw-redirect" title="Kovariante Ableitung">kovarianten Ableitung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {\mathrm {i} q}{\hbar c}}A_{\mu }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {\mathrm {i} q}{\hbar c}}A_{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4593037ee0313cac7f3706d7935d248130695489.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:16.983ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {\mathrm {i} q}{\hbar c}}A_{\mu }}" loading="lazy"></span>. Die Funktionen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mu }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9277f5286335ab99c040c9c9151ab752d3bedc49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.967ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{\mu }}" loading="lazy"></span> stehen dabei für die Potentiale des elektromagnetischen Feldes. Ersetzt man nun in der Proca-Gleichung für das <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"></span>-Boson alle partiellen Ableitungen durch die kovariante Ableitung, so gilt wieder die Eichsymmetrie der <a href="Quantenelektrodynamik" title="Quantenelektrodynamik">Quantenelektrodynamik</a>.<sup id="cite_ref-GR_RQ_1-3" class="reference"><a href="#cite_note-GR_RQ-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Der zugehörige Erhaltungssatz beschreibt die Ladungserhaltung. Das Proca-Feld transformiert sich bei einer <a href="Eichtransformation" title="Eichtransformation">Eichtransformation</a> des elektromagnetischen Feldes

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{\mu }\rightarrow A^{\mu }-\partial ^{\mu }f(x^{\mu })}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24cb92eff96be451fff02143e1237f1f8fec44b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.595ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A^{\mu }\rightarrow A^{\mu }-\partial ^{\mu }f(x^{\mu })}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>gemäß

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{\mu }e^{{\frac {\mathrm {i} q}{\hbar c}}f(x^{\mu })}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71f286ac1089f7efdd1c1b6b45c5a6312d2d28fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.161ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{\mu }e^{{\frac {\mathrm {i} q}{\hbar c}}f(x^{\mu })}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Dabei ist

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> eine frei wählbare, mindestens einmal differenzierbare Funktion</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> die elektrische Ladung des W-Bosons</li></ul>

<p>Die komplexe Konjugation der Feldgleichungen ändert bei der kovarianten Ableitung das Vorzeichen der Ladung. Man erhält also über die komplexe Konjugation der Feldgleichung auch die Gleichungen für das zugehörige Antiteilchen. Die komplexe Konjugation des Proca-Feldes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{*\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{*\mu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8a9c287ade38e9d2c293f1acf51c9d0b70ec666.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.411ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{*\mu }}" loading="lazy"></span> entspricht damit einer <a href="Ladungskonjugation" title="Ladungskonjugation">Ladungskonjugation</a>.

</p><p>Daraus folgt, dass die Wellenfunktion eines elektrisch geladenen Proca-Teilchens durch einen komplexen Vierervektor beschrieben wird. Die Wellenfunktion eines elektrisch neutralen Proca-Teilchens wird dann entsprechend durch einen reellen Vierervektor beschrieben.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wechselwirkung_mit_fermionischen_Feldern">Wechselwirkung mit fermionischen Feldern</h2></div>

<p>Analog zum Elektromagnetismus mit den <a href="Maxwell-Gleichungen" title="Maxwell-Gleichungen">maxwellschen Gleichungen</a> kann man obige Feldgleichungen durch felderzeugende, fermionische Ströme <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi _{a}}}\gamma ^{\mu }\psi _{b}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi _{a}}}\gamma ^{\mu }\psi _{b}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47a0e6922874d2c8b2bbce075cf003f59955ebba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.417ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi _{a}}}\gamma ^{\mu }\psi _{b}}" loading="lazy"></span>, bzw. Axialvektorströme <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{A}^{\mu }={\bar {\psi _{a}}}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi _{b}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{A}^{\mu }={\bar {\psi _{a}}}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi _{b}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99d4f987e43369ef31134f53b3d346c7f3310d9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.757ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle J_{A}^{\mu }={\bar {\psi _{a}}}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi _{b}}" loading="lazy"></span> erweitern, um eine erste stark vereinfachte Beschreibung der Wechselwirkung mit anderen Elementarteilchen zu erhalten. Die Indizes a und b sollen dabei andeuten, dass hier die Wellenfunktionen von zwei unterschiedlichen fermionischen Teilchen, wie z. B. Elektron und Neutrino verwendet werden, da zur Erzeugung eines Spin-1-Teilchens aufgrund der <a href="Drehimpulserhaltung" class="mw-redirect" title="Drehimpulserhaltung">Drehimpulserhaltung</a> zwei Spin-1/2-Teilchen erforderlich sind. Beispiele für solche fermionischen Ströme befinden sich in der <a href="V-A-Theorie" title="V-A-Theorie">V-A-Theorie</a> und der Theorie zur <a href="Schwache_Wechselwirkung" title="Schwache Wechselwirkung">schwachen Wechselwirkung</a>.

</p><p>Da zwei Spin-1/2-Teilchen aufgrund der Drehimpulserhaltung ebenso zu einem Spin-0-Zustand koppeln können, ergibt sich auch ein Hinweis auf ein weiteres mögliches Feld, das in einer Theorie zur schwachen Wechselwirkung benötigt wird.

Dieses Feld wird in der Theorie zur <a href="Elektroschwache_Wechselwirkung" title="Elektroschwache Wechselwirkung">elektroschwachen Wechselwirkung</a> dann <a href="Higgs-Feld" class="mw-redirect" title="Higgs-Feld">Higgs-Feld</a> genannt.

</p><p>Wie im vorigen Abschnitt bereits gezeigt, muss zusätzlich unterschieden werden, ob das zu beschreibende Spin-1-Teilchen eine Ladung besitzt oder nicht. Ein geladenes Spin-1-Teilchen wird im Gegensatz zu einem ungeladenen Teilchen vom elektromagnetischen Feld beeinflusst. Dies wird durch Verwendung der oben angegebenen kovarianten Ableitung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{\mu }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/267983ed233945e70f42935df28e623cfce15c12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.148ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{\mu }}" loading="lazy"></span> berücksichtigt.<sup id="cite_ref-GR_RQ_1-4" class="reference"><a href="#cite_note-GR_RQ-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Soll nun beschrieben werden, wie durch geladene fermionische Ströme ein geladenes Proca-Feld erzeugt wird, so kann in vereinfachter Weise und in Analogie zur <a href="Yukawa-Wechselwirkung" title="Yukawa-Wechselwirkung">Yukawa-Wechselwirkung</a> die folgende Gleichung betrachtet werden

</p>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{\mu }G^{\mu \nu }+\left({\tfrac {m_{W}c}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=g_{W}J_{W}^{\nu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a3fc5efd3aa2f33366944b53dcab250d2713fbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.566ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle D_{\mu }G^{\mu \nu }+\left({\tfrac {m_{W}c}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=g_{W}J_{W}^{\nu }}" loading="lazy"></span> ,</dd></dl>

<p>wobei hier auch im Feldstärketensor anstelle der partiellen Ableitung die kovariante Ableitung einzusetzen ist. Die Konstante <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{W}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{W}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53c19eb870441d957e003a08a3c2d2976e324422.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.063ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g_{W}}" loading="lazy"></span> bestimmt dabei die Stärke der Kopplung zwischen dem geladenen Strom und dem Feld eines massiven W-Bosons. Im <a href="Standardmodell_der_Elementarteilchenphysik" class="mw-redirect" title="Standardmodell der Elementarteilchenphysik">Standardmodell der Elementarteilchenphysik</a> wird an dieser Stelle ein etwas komplizierterer Feldstärketensor verwendet, der eine weitere <a href="Eichsymmetrie" class="mw-redirect" title="Eichsymmetrie">Eichsymmetrie</a> ermöglicht.

</p><p>Die Lagrange-Dichte zu obiger Feldgleichung lautet

</p>

<msub>

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</mstyle>

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</mrow>

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</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}_{W}=-{\tfrac {1}{2}}G_{\mu \nu }^{*}G^{\mu \nu }+\left({\frac {m_{W}c}{\hbar }}\right)^{2}B_{\nu }^{*}B^{\nu }-g_{W}B_{\nu }J_{W}^{\nu *}-g_{W}B_{\nu }^{*}J_{W}^{\nu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bde3361c1e7e51b27dfbe859658b44d562e68086.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:60.446ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}_{W}=-{\tfrac {1}{2}}G_{\mu \nu }^{*}G^{\mu \nu }+\left({\frac {m_{W}c}{\hbar }}\right)^{2}B_{\nu }^{*}B^{\nu }-g_{W}B_{\nu }J_{W}^{\nu *}-g_{W}B_{\nu }^{*}J_{W}^{\nu }}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wobei hier im Feldstärketensor anstelle der partiellen Ableitung ebenfalls die kovariante Ableitung einzusetzen ist.

</p><p>Für das ungeladene Z-Boson kann eine ähnliche Gleichung aufgestellt werden:

</p>

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</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{\mu }G^{\mu \nu }+\left({\tfrac {m_{Z}c}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=g_{Z}J_{Z}^{\nu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31c09b877366ad4f3998dcef36fe58c5f0f7eba4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.375ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \partial _{\mu }G^{\mu \nu }+\left({\tfrac {m_{Z}c}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=g_{Z}J_{Z}^{\nu }}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Die Kopplung an ein äußeres elektromagnetisches Feld entfällt in diesem Fall aufgrund der fehlenden elektrischen Ladung dieses Teilchens, so dass hier die kovariante Ableitung nicht verwendet werden muss. Die Gleichung enthält aber die Masse des Z-Bosons, die von der Masse des W-Bosons abweicht. Die Lagrange-Dichte dieser Feldgleichung lautet:

</p>

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</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}_{Z}=-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}\left({\frac {m_{Z}c}{\hbar }}\right)^{2}B_{\nu }B^{\nu }-g_{Z}B_{\nu }J_{Z}^{\nu }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f846073b3cda7a2133a22fb2fb5cfe0beeef4e19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:48.428ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}_{Z}=-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}\left({\frac {m_{Z}c}{\hbar }}\right)^{2}B_{\nu }B^{\nu }-g_{Z}B_{\nu }J_{Z}^{\nu }}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Im Gegensatz zum Feld des elektrisch geladenen W-Bosons wird das Feld des elektrisch neutralen Z-Bosons durch einen reellen <a href="Vierervektor" title="Vierervektor">Vierervektor</a> beschrieben.

</p><p>Zu erwähnen ist noch, dass die so beschriebenen Spin-1-Felder ihrerseits auch die felderzeugenden fermionischen Felder beeinflussen. Deshalb muss auch die <a href="Dirac-Gleichung" title="Dirac-Gleichung">Dirac-Gleichung</a>, welche die Bewegung der Fermionen beschreibt, angepasst werden. Die Berücksichtigung aller durchgeführten kernphysikalischen Experimente und grundlegenden theoretischen Arbeiten zur schwachen Kernkraft, führte dabei zu einer Feldtheorie, in der die elektromagnetische und schwache Wechselwirkung zusammengefasst und als elektroschwache Wechselwirkung bezeichnet wird.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Die volle Theorie wird, wie oben bereits erwähnt, als Standardmodell der Elementarteilchenphysik bezeichnet.

</p><p>Ältere Modelle zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung sind in diesem Standardmodell enthalten und stimmen für niedrige Teilchenenergien mit diesem überein.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Brian R. Martin, Graham Shaw: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Particle Physics</cite>. John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>373</span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Proca-Gleichung&rft.au=Brian+R.+Martin%2C+Graham+Shaw&rft.btitle=Particle+Physics&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.isbn=9780470032947&rft.pages=373&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons" style="display:none"> </span></li>

<li>Brian R. Martin: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Nuclear and Particle Physics</cite>. Wiley, 2008, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>369</span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Proca-Gleichung&rft.au=Brian+R.+Martin&rft.btitle=Nuclear+and+Particle+Physics&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.pages=369&rft.pub=Wiley" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Photon" title="Photon">Photon</a></li>

<li><a href="Quantenelektrodynamik" title="Quantenelektrodynamik">Quantenelektrodynamik</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/lexikon/physik/proca-gleichung/11653">Spektrum Lexikon der Physik</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-GR_RQ-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-GR_RQ_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-GR_RQ_1-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-GR_RQ_1-2">c</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-GR_RQ_1-3">d</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-GR_RQ_1-4">e</a></sup></span> <span class="reference-text">W. Greiner, "Relativistische Quantenmechanik", Springer, S. 415 f., ISBN 3-540-67457-8</span>

</li>

<li id="cite_note-Itzy-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Itzy_2-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Itzy_2-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">C. Itzykson, J.-B. Zuber, "Quantum Field Theory", McGraw-Hill International Edition, 3. Auflage, 1987, Seite 134 f.</span>

</li>

<li id="cite_note-GR_RQM-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-GR_RQM_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Greiner, Relativistic Quantum Mechanics, Springer, 3. Auflage 2000, S. 361ff</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">W. Greiner, B. Müller, "Eichtheorie der schwachen Wechselwirkung", Verlag Harri Deutsch, 1994, ISBN 3-8171-1427-3</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>